Ecuaciones Diferenciales
Dennis G. Zill
Contenido
1 Introducción a las ecuaciones diferenciales 1
1.1 Definiciones y terminología 2
1.2 Problemas de valor inicial 12
1.3 Las ecuaciones diferenciales
como modelos matemáticos 19
Ejercicios de repaso 33
2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 3 6
2.1 Variables separables 37
2.2 Ecuaciones exactas 45
2.3 Ecuaciones lineales 52
2.4 Soluciones por sustitución 63
Ejercicios de repaso 69
3 Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden 71
3.1 Ecuaciones lineales 72
3.2 Ecuaciones no lineales 86
3.3 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales 97
Ejercicios de repaso 108
La AZT y La supervivencia con SIDA (Ap. N)
Dinámica de una población de lobos (Ap. Iv)
4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 112
4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 113
4.1.1 Problemas de valor inicial y de valor en la frontera 113
4.1.2 Ecuaciones homogéneas 116
4.1.3 Ecuaciones no homogéneas 123
4.2 Reducción de orden 130
4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 133
4.4 Coeficientes indeterminados método de la superposición, 142
4.5 Coeficientes indeterminados método del anulador 153
4.6 Variación de parámetros 163
4.7 Ecuación de Cauchy-Euler 169
4.8 Sistemas de ecuaciones lineales 177
4.9 Ecuaciones no lineales 186
Ejercicios de repaso 193
5 Modelado con ecuaciones diferenciales de orden superior 195
5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 196
5.1.1 Sistema de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado 196
5.1.2 Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre 20 1
5.1.3 Sistemas de resorte y masa: movimiento forzado 206
5.1.4 Sistemas análogos 2 ll
5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la frontera 222
5.3 Ecuaciones no lineales 233
Ejercicios de repaso 244
Degeneración de las órbitas de los satélites (Ap. IV)
Derrumbe del puente colgante de Tacoma Narrows (Ap. IV)
6 Soluciones en forma de series de potencias de ecuaciones lineales 247
6.1 Repaso de las series de potencias; soluciones en forma de series de potencias 248
6.2 Soluciones en torno a puntos ordinarios 257
6.3 Soluciones en torno a puntos singulares 265
6.4 Dos ecuaciones especiales 278
Ejercicios de repaso 294
7. La transformada de Laplace 295
7.1 Definición de la transformada de Laplace 296
7.2 Transformada inversa 305
7.3 Teoremas de traslación y derivadas de una transformada 3 1 2
7.4 Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas 325
7.5 Aplicaciones 333
7.6 Función delta de Dirac 349
7.7 Sistemas de ecuaciones lineales 354
Ejercicios de repaso 362
8. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 365
8.1 Teoría preliminar 366
8.2 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes 376
8.2.1 Valores propios reales y distintos 376
8.2.2 Valores propios repetidos 380
8.2.3 Valores propios complejos 384
8.3 Variación de parámetros 390
8.4 Matriz exponencial 395
Ejercicios de repaso 398
Modelado de una carrera armamentista (Ap. Iv)
9. Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias 400
9.1 Campos direccionales 401
9.2 Métodos de Euler 405
9.3 Métodos de Runge-Kutta 414
9.4 Métodos multipasos 421
9.5 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de orden superior 424
9.6 Problemas de valor en la frontera de segundo orden 430
Ejercicios de repaso 435
10 Funciones ortogonales y series de Fourier 437
10.1 Funciones ortogonales 438
10.2 Series de Fourier 444
10.3 Series de Fourier de cosenos y de senos 449
10.4 El problema de Sturm-Lìouville 460
10.5 Series de Bessel y de Legendre 468
10.5.1 Serie de Fourier-Bessel 469
10.5.2 Serie de Fourier-Legendre 472
Ejercicios de Repaso 475
11 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y problemas de valor en la frontera en coordenadas rectangulares 477
11.1 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales separables 478
11.2 Ecuaciones clásicas y problemas de valor en la frontera 483
11.3 Ecuación de transmisión de calor 49 1
11.4 Ecuación de onda 494
11.5 Ecuación de Laplace 501
11.6 Ecuaciones no homogéneas y condiciones en la frontera 505
11.7 Empleo de series de Fourier generalizadas 509
11.8 Problemas de valor en la frontera con series de Fourier con dos variables 5 14
Ejercicios de repaso 518
Apéndice I Función gamma AP-1
Apéndice II Introducción a las matrices AP-4
Apéndice III Tabla de transformadas de Laplace AP-24
Apéndice IV Aplicaciones del modelado AP-27
A La AZT y la supervivencia con SIDA AP-28
B Dinámica de una población de lobos AP-30
C Degeneración de las órbitas de los satélites AP-33
D Derrumbe del puente colgante de Tacoma Narrows AP-35
E Modelado de una carrera armamentista AP-37
Apéndice V Tabla de transformadas de Laplace AP-39
Apéndice VI Tabla de integrales AP-41
Respuestas a los problemas de número impar
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